213 / 240
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου
212
Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο Π
40cm. Αν x cm είναι το
μήκος του παραλληλογράμμου, τότε:
α)
Να αποδείξετε ότι 0
x
20
(Μονάδες 4)
β)
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε(x) του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση:
Ε(x)
20x
x
2
(Μονάδες 8)
γ)
Να αποδείξετε ότι ισχύει Ε(x)
100, για κάθε x
(0,20) (Μονάδες 6)
δ)
Να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο 40 cm,
εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 10cm.
(Μονάδες 7)
Απάντηση:
α)
Έστω
x
το μήκος και
y
το πλάτος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.
Τότε προφανώς πρέπει να ισχύουν
x,y 0
(μήκη γεωμετρικών τμημάτων) και
Π 2x 2y 40 2 x y 40
x y 20
y 20 x
.
Όμως ισχύει ότι
y 0
20 x 0
x 20
Οπότε τελικά
0 x 20
.
β)
Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι ίσο με:
E x y
ή
E x x 20 x
2
E x 20x x
.
γ)
Για
x 0,20
έχουμε:
E x 100
2
20x x 100
2
x
20x 100 0
2
x 20x 100 0
2
x 10 0
που ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό.
Άρα ισχύει και η σχέση
E x
100
για κάθε
x 0,20
.
ΘΕΜΑ 4-7512