Αλγεβρα A' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

210 / 240

209
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Πρέπει επίσης, επειδή 1 2 x ,x είναι πλευρές ορθογωνίου παραλληλογράμμου
να είναι θετικές, άρα ομόσημες και με άθροισμα θετικό, δηλαδή: 1 2 x ,x 0  , και
1 2 x x 0 2 0    , που ισχύει ,
αλλά και
 
1 2 x x 0 λ 2 λ 0     που ισχύει αφού   λ 0,2 0 λ 2     .
i) Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι
1 2 1 2 Π 2x 2x 2(x x )     .
Σύμφωνα με το τύπο του Vieta έχουμε: 1 2
β
x x 2
α
    επομένως :
1 2 Π 2(x x ) 2 2 4      .
ii) Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι 1 2 Ε x x  και σύμφωνα με το τύπο
του Vieta είναι: 1 2
γ
x x λ(2 λ)
α
    άρα
E λ(2 λ), λ (0, 2)  
β. Εργαζόμαστε ισοδύναμα και έχουμε :
  2 2 Ε 1 λ 2 λ 1 2λ λ 1 0 λ 2λ 1            2 2 λ 2λ 1 0 (λ 1) 0      
Η τελευταία σχέση ισχύει, οπότε ισχύει και η ζητούμενη ανισότητα.
γ. Το εμβαδόν Ε γίνεται μέγιστο, όταν:
2 2
Ε 1 λ(2 λ) 1 λ 2λ 1 0 (λ 1) 0 λ 1             
Για λ 1 η εξίσωση γίνεται: 2 2
x – 2x 1 0 (x 1) 0 x 1       
Η εξίσωση έχει λοιπόν δύο ρίζες ίσες, την 1 2 x x 1  , που σημαίνει ότι οι
πλευρές του ορθογωνίου είναι ίσες. Άρα το ορθογώνιο είναι τετράγωνο.