Αλγεβρα A' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

196 / 240

195
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Οπότε έχουμε
   
2 λ 0
2 2 2 λ 1
Π 4 2 4 2 λ 1 4λ λ 1 2λ λ 1 0
λ
  
           
 
 
,
που ισχύει για κάθε λ 0 . Άρα, ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.
iii) Από το ερώτημα ii) ισχύει Π 4 . Επίσης,
 
2
2 2
2
λ 1
Π 4 2 4 λ 1 2λ λ 2λ 1 0
λ
λ 1 0 λ 1
 
          
 
    
Άρα, η ελάχιστη τιμή της περιμέτρου Π είναι ίση με 4 και
επιτυγχάνεται για λ 1. Οπότε,
   2
2 f x x 2x 1 x 1 .     
Παρατηρούμε ότι το τριώνυμο   f x έχει μια διπλή ρίζα, το 1. Δηλαδή
1 2 x x 1  .
Επομένως, από όλα τα ορθογώνια με σταθερό εμβαδό Ε 1 , ελάχιστη
περίμετρο έχει το τετράγωνο.
Δίνονται οι συναρτήσεις: 2
f(x) x 4x α    και g(x) αx 5  με α 
α. Αν ισχύει     f 2 g 2  , να βρείτε την τιμή του α.
(Μονάδες 7)
β. Για α 1
i) να λύσετε την εξίσωση:     f x g x
ΘΕΜΑ 4-4575