195 / 240
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου
194
Δίνεται το τριώνυμο:
2 2
f(x)
λx
(λ
1)x λ με λ 0
.
α.
Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το
τριώνυμο έχει ρίζες θετικές για κάθε λ>0. (Μονάδες 10)
β.
Αν οι ρίζες του τριωνύμου είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου
παραλληλογράμμου, τότε:
i)
να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου. (Μονάδες 4)
ii)
να βρείτε την περίμετρο Π του ορθογωνίου ως συνάρτηση του
λ
και να
αποδείξετε ότι
Π 4
για κάθε λ>0. (Μονάδες 8)
iii)
για την τιμή του λ που η περίμετρος γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 4, τι
συμπεραίνετε για το ορθογώνιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 3)
Απάντηση:
α)
Έχουμε
2
2
2
2
2
2 4
2
2
2
4
2
2
Δ (λ 1)
4λ
λ 1 4λ λ 2λ 1 4λ
λ 2λ 1 λ 1
0 για κάθε λ 0.
Άρα, το τριώνυμο
f x
έχει πραγματικές ρίζες για κάθε
λ 0.
β) i)
Το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου με μήκη πλευρών τις ρίζες του
τριωνύμου είναι
1 2
γ
λ
Ε x x P
1
α λ
για κάθε
λ 0.
ii)
Η περίμετρος Π του ορθογωνίου με μήκη πλευρών τις ρίζες του
τριωνύμου είναι
2
1 2
β λ 1
Π 2(x x ) 2S 2
2
α
λ
για κάθε
λ 0.
ΘΕΜΑ 4-4558