170 / 240
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
169
Δίνονται οι συναρτήσεις
2
f(x) x 3x 2
και
g(x)
x 1
,
x
α)
Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν ένα
μόνο κοινό σημείο, το οποίο στη συνέχεια να προσδιορίσετε.
(Μονάδες 10)
β)
Δίνεται η συνάρτηση h(x) = x + α. Να δείξετε ότι :
i)
αν α > 1, τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, h έχουν δύο
κοινά σημεία.
ii)
αν α < 1, τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, h δεν έχουν
κοινά σημεία.
(Μονάδες 15)
Απάντηση:
α)
Οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των συναρτή-
σεων f, g είναι οι ρίζες της εξίσωσης
2
2
f(x)
g(x), x
x
3x 2 x 1 x 3x 2 x 1 0
2
x 2x 1 0
2
(x 1) 0
x 1 0 x 1
.
Άρα, οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν ένα μόνο κοινό
σημείο, το
Μ 1, g 1
, δηλαδή το
Μ 1, 0 .
β) i)
Αν
α 1,
τότε
2
2
f(x) h(x),x
x 3x 2 x α x 3x 2 x α 0
2
x
2x 2 α 0
Πρόκειται για εξίσωση 2ου βαθμού με διακρίνουσα
2
Δ 2
4 1 2 α 4 8 4α
4 4α 4 α 1
Άρα, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Δηλαδή, οι γραφικές
παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν δύο κοινά σημεία.
ΘΕΜΑ 4 - 13090