150 / 240
149
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Ένα μυρμήγκι περπατάει πάνω σε ένα ευθύγραμμο κλαδί μήκους 1 m, με τον
ακόλουθο τρόπο:
Ξεκινάει από το ένα άκρο του κλαδιού και το 1
ο
λεπτό προχωράει 1 cm, το
2
ο
λεπτό προχωράει 3cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά
2 cm μεγαλύτερη από αυτήν που διήνυσε το προηγούμενο λεπτό.
α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει το μυρμήγκι κάθε λεπτό
της κίνησής του, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να
βρείτε τον ν-οστο όρο
αυτής της προόδου.
(Μονάδες 5)
* β) Να βρείτε την συνολική απόσταση που κάλυψε το μυρμήγκι τα πρώτα
5 λεπτά της κίνησής του.
(Μονάδες 4)
* γ) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι θα φτάσει στο άλλο άκρο του
κλαδιού.
( Μονάδες 4)
δ) Υποθέτουμε τώρα ότι την ίδια στιγμή που το μυρμήγκι ξεκινάει την
πορεία του, από το άλλο άκρο του κλαδιού μια αράχνη ξεκινάει και
αυτή προς την αντίθετη κατεύθυνση και με τον ακόλουθο τρόπο: Το
1
ο
λεπτό προχωράει 1 cm, το 2
ο
λεπτό προχωράει 2 cm, το 3
ο
λεπτό
προχωράει 4 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση διπλάσια
από αυτήν που διένυσε το προηγούμενο λεπτό.
i)
Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε λεπτό
της κίνησης της, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και
να βρείτε τον ν-οστο όρο
αυτής της προόδου.
(Μονάδες 7)
*ii) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι και η αράχνη θα βρεθούν
αντιμέτωπα σε απόσταση 1 cm.
(Mονάδες 5)
Απάντηση:
α)
Η απόσταση που διανύει το μυρμήγκι κάθε λεπτό προκύπτει από την
προηγούμενη με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, συγκεκριμένα του
αριθμού 2. Άρα, οι αποστάσεις που διανύει το μυρμήγκι κάθε λεπτό της
ΘΕΜΑ 4-4629