144 / 240
143
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών α, β και εμβαδόν Ε,
τέτοια ώστε οι αριθμοί α, Ε, β, με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί
όροι γεωμετρικής προόδου.
α)
Να αποδείξετε ότι
1
.
(Μονάδες 10)
β)
Αν
10
τότε:
i.
Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2
ου
βαθμού με ρίζες τα μήκη
,
.
(Μονάδες 5)
ii.
Να βρείτε τα μήκη
,
.
(Μονάδες 10)
Απάντηση:
α)
Για το εμβαδό του ορθογωνίου έχουμε
Αφού οι αριθμοί α, Ε ,β είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ισχύει
2
.
Από τα παραπάνω βρίσκουμε ότι
0
2
2
0 (1 ) 0
1
.
β) i)
Από το ερώτημα
α)
έχουμε
1
1
.
Η ζητούμενη εξίσωση έχει άθροισμα και γινόμενο ριζών
S
10
και
1,
αντίστοιχα.
Άρα, μία εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τα μήκη α, β είναι η εξίσωση
2
x
10x 1 0
.
ΘΕΜΑ 4-6678