130 / 240
129
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται η εξίσωση : 2x
2
– 5βx + 2β
2
= 0 (1), με παράμετρο β > 0.
α)
Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις :
1
x
2
και
2
x
2
(Μονάδες 12)
β)
Αν
1 2
x , x
είναι οι ρίζες της (1), να εξετάσετε αν οι αριθμοί
1
2
x ,
, x
, με τη
σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να
αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας
(Μονάδες 13)
Απάντηση:
α)
Η εξίσωση
(1)
είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα
2
2
2
2
2
2
4
5 4 2 2
25 16 9 0
, αφού
0
.
Οπότε, έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις
2
1,2
5 9 5 3
x
.
2
2 2
4
Δηλαδή,
1
2
x 2
x .
2
β)
Οι αριθμοί
1
2
x , , x
είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και
μόνο αν
2
2
2
2
1 2
x x
2
2
,
το οποίο ισχύει.
ΘΕΜΑ 2 - 1100