121 / 240
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου
120
Δίνεται το τριώνυμο:
2
2
x x
όπου
α)
Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα
του τριωνύμου. (Μονάδες 4)
β) i)
Αν
0
τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο του τριωνύμου;
(Μονάδες 7)
ii)
Πώς αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτημα (i), όταν
0
(Μονάδες 6)
γ)
Με τη βοήθεια της απάντησης στο ερώτημα (β), να αποδείξετε ότι ισχύει η
ανισότητα
2
2
0
για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς
,
που δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα μηδέν.
(Μονάδες 8)
Απάντηση:
α)
Έχουμε
2
2
2
2
2
4 1
4 3
β) i)
Αν
0
, τότε
2
2
0
3
0
0
. Οπότε, το τριώνυμο είναι
ομόσημο του
1 0
, για κάθε
x
. Δηλαδή,
2
2
x
x
0
για κάθε
x
.
ii)
Αν
0
τότε
0
και το τριώνυμο θα είναι το
2
x
. Συνεπώς, έχει μια
διπλή ρίζα το 0 και είναι θετικό για κάθε
x
,0 0,
.
γ)
Αν
0
τότε η παράσταση
2
2
μπορεί να θεωρηθεί τριώνυμο
του α. Οπότε, με βάση το ερώτημα
βi)
ισχύει
2
2
0
για κάθε
.
ΘΕΜΑ 4-5316