120 / 240
119
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Θεωρούμε το τριώνυμο
2
f(x) 3x x 4
, με παράμετρο
α)
Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του
, το τριώνυμο έχει ρίζες
πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 10)
β)
Οι ρίζες του τριωνύμου είναι ομόσημες ή ετερόσημες; Να αιτιολογήσετε την
απάντησή σας. (Μονάδες 5)
γ)
Αν
1 2
x , x
οι ρίζες του τριωνύμου και
α , β
δύο πραγματικοί ώστε να ισχύει
1
2
α < x < x < β
,
να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου
f( )
f( )
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)
Απάντηση:
α)
Το τριώνυμο
f x
έχει διακρίνουσα
2
2
2
4
4 3 ( 4)
48 0
για κάθε
x
.
Άρα, το τριώνυμο
f x
έχει δυο ρίζες
1
2
x , x
πραγματικές και άνισες.
β)
Με βάση τους τύπους του Vieta έχουμε
1
2
4
x x
0.
3
Άρα, οι ρίζες
1 2
x , x
είναι ετερόσημες.
γ)
Οι ρίζες και το πρόσημο του τριωνύμου
f x
φαίνονται στον παρακάτω
πίνακα:
Οπότε,
f
0
και
f
0.
Επίσης,
1
x 0
και
2
x 0
. Επομένως,
f
f
0.
ΘΕΜΑ 4-4859
x
α
1
x
2
x
β
f x