230 / 234
229
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Απάντηση:
Δ
1.
Είναι:
·
ΚΒ ΛΓ ΜΔ ΝΑ 4 x
= = = = -
·
Τα ορθογώνια τρίγωνα ΚΒΛ, ΛΜΓ, ΜΔΝ και ΑΚΝ είναι ίσα, αφού οι
κάθετες πλευρές τους είναι μία προς μία ίσες. Άρα το ΚΛΜΝ είναι
τετράγωνο και το εμβαδόν του θα είναι ίσο με
2
ΚΛ
.
·
Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΚΒΛ προκύπτει:
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2 2
2
ΚΛ ΚΒ ΒΛ 4 x x 16 8x x x 2 x 4x 8
= + = - + = - + + =
- +
·
Επιπλέον, οι πλευρές ΑΚ και ΚΒ έχουν θετικό μήκος, άρα:
( )
( )
( )
ΑΚ 0
x 0
x 0
και
και
και
x 0,4
4 x 0 x 4
ΚΒ 0
ì > ü
>
>
ì
ü ì ü
ï
ï ï
ï ï ï
Û Û Û Î
í
ý í
ý í ý
ï
ï ï
ï ï ï
- >
<
> î
þ î þ
î
þ
Επομένως, η συνάρτηση που εκφράζει το εμβαδόν του ΚΛΜΝ είναι η:
( )
(
)
2
E x 2 x 4x 8
= - +
,
( )
x 0,4
Î
.
Δ2.
Είναι:
·
( )
(
)
(
) (
)
( )
2
Ε x 2 x 4x 8 2 2x 4 4 x 2 , x 0,4
¢
é
ù
¢
= - + = ×
- = - Î
ë
û
·
( )
(
)
E x 0 4 x 2 0 x 2
¢
= Û - = Û =
·
( )
(
)
E x 0 4 x 2 0 x 2 0 x 2
¢
> Û - > Û - > Û >
·
( )
(
)
E x 0 4 x 2 0 x 2 0 x 2
¢
< Û - < Û - < Û <
Ακολουθεί ο πίνακας μεταβολών της συνάρτησης Ε:
Συνεπώς, το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο για
x 2
=
.
Δ3.
α)
Η μέση τιμή των
2
i
x , i 1,2,...,19
=
είναι ίση με
19
2
i
i 1
x
19
=
å
.
Έχουμε:
x
0
2
4
( )
E x
¢
-
+
E
>
1
O.
Ε
.