204 / 234
203
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
·
f
γνησίως φθίνουσα στο
æ
ù -¥ç
ú
è
û
1
,
2
·
f
γνησίως αύξουσα στο
é
ö +¥ ÷
êë
ø
1
,
2
·
f
παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο
=
1
1
x
2
με τιμή
æ ö
æ
ö
= × - = -
ç ÷
ç
÷
è ø
è
ø
1
2
1
1
f
2e 2 3 4 e
2
2
που είναι και ολικό ελάχιστο
.
Β2.
Από
Β1)
ερώτημα είναι
=
1
1
x
2
και
æ ö = - ç ÷
è ø
1
f
4 e
2
.
Οπότε
( )
( )
= Û =
1
1
P A x P A
2
και
( )
( )
( )
-
= - = - = Û =
1
f x
4 e 2
2
P B
P B
3
3
6 e 6 e
.
Β3.
Έστω ότι Α, Β ασυμβίβαστα.
Από τον απλό προσθετικό νόμο έχουμε:
(
) ( ) ( )
(
)
È = + = + = Û È = >
1 2 7
7
P A B P A P B
P A B
1
2 3 6
6
άτοπο, οπότε Α, Β δεν
είναι ασυμβίβαστα
.
Β4.
Είναι
( )
¢
¢
¢
¢
¢
¢
- = Ç = Ç = -
A B A B A B B A
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι
(
)
£ - £
1
2
P B A
6
3
·
Ισχύει ότι
B A B
- Í
άρα
(
) ( )
(
)
2
P B A P B P B A
3
- £ Û
- £
·
Έστω ότι
(
)
( ) (
)
(
)
1
1 2
1
P B A
P B P A B
P A B
6
6 3
6
- ³ Û - Ç ³ Û - Ç ³ Û
(
)
(
)
Û Ç £ - Û Ç £
2 1
1
P A B
P A B
3 6
2