203 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
202
Δίνεται η συνάρτηση
( )
(
)
=
-
x
f x 2e 2x 3
,
Î
x
Θεωρούμε επίσης δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω με
( )
=
1
P A x
και
( )
( )
= -
1
f x
P B
6 e
όπου η
f
παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο
1
x
.
Β1.
Να μελετήσετε τη συνάρτηση
f
ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα
.
(Μονάδες
6)
Β2.
Να αποδείξετε ότι
( )
=
1
P A
2
και
( )
=
2
P B
3
.
(Μονάδες
6)
Β3.
Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα
.
(Μονάδες
5)
Β4.
Να αποδείξετε ότι
(
)
¢
¢
£ - £
1
2
P A B
6
3
.
(Μονάδες
8)
Απάντηση:
Β1.
Η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
με παράγωγο:
·
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
x
x
x
x
x
f x 2e 2x 3 2e 2x 3 4e 2e 2x 3 2 2e 2x 1
¢
¢
é
ù
=
- =
- + =
- + =
-
ë
û
·
( )
(
)
x
2e 0
x
1
f x 0 2e 2x 1 0 2x 1 0 x
2
>
¢
= Û - = Û - = Û =
·
( )
(
)
x
2e 0
x
1
f x 0 2e 2x 1 0 2x 1 0 x
2
>
¢
> Û - > Û - > Û >
·
( )
(
)
x
2e 0
x
1
f x 0 2e 2x 1 0 2x 1 0 x
2
>
¢
< Û - < Û - < Û <
Από τον παραπάνω πίνακα μεταβολών έχουμε ότι
:
x
-¥
1
2
+¥
( )
¢
f x
-
+
f
>
1
ΘΕΜΑ Β
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013
Ο
.E.