137 / 234
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής
136
Δίνεται η συνάρτηση
f
με τύπο
( )
+
=
x
x 2
f x
e
α)
Να βρείτε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης
(Μονάδες
9)
β)
Να αποδείξετε ότι
( ) ( )
¢+ =
x
1
f x f x
e
(Μονάδες
8)
γ)
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
f
στο
σημείο Α(0,
f(0)).
(Μονάδες
8)
Απάντηση:
α)
Είναι
=
f
D
με
( )
(
)
( )
(
)
¢
¢
¢
+ -
+
+æ
ö
¢
=
=
=
ç
÷
è
ø
x
x
x
2x
x 2 e e x 2
x 2
f x
e
e
(
)
- + - - - -
=
=
=
x
x
2x
x
x
e e x 2 1 x 2 x 1
e
e
e
για κάθε
Î
x
·
( )
x
x 1
f x 0
0 x 1 0 x 1
e
- -
¢
= Û = Û - - = Û = -
·
( )
x
e 0
x
x 1
f x 0
0 x 1 0 x 1
e
>
- -
¢
> Û > Û- - > Û < -
·
( )
x
e 0
x
x 1
f x 0
0 x 1 0 x 1
e
>
- -
¢
< Û < Û- - < Û > -
Από τον παραπάνω πίνακα μεταβολών έχουμε ότι
:
·
η
f
είναι γνησίως αύξουσα στο
(
]
-¥ -
, 1
·
η
f
είναι γνησίως φθίνουσα στο
[
)
- +¥
1,
x
-¥
-
1
+¥
( )
¢
f x
+
-
f
1
>
ΘΕΜΑ Β
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2004
O.M