70 / 368
69
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
15.
Αν μια συνάρτηση
f
παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το με-
γαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα
.
16.
Έστω συνάρτηση
f
συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε
εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση
f
είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ,
τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ.
17.
Αν μια συνάρτηση
f
είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο
και στρέφει τα
κοίλα προς τα κάτω, τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει
( )
f x 0
¢¢
<
για κάθε πραγ-
ματικό αριθμό x.
18.
Έστω μία συνάρτηση
f
συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παρα-
γωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν
( )
f x 0
¢¢
>
για κάθε εσωτερικό σημείο
x
του Δ, τότε η
f
είναι κυρτή στο Δ.
19.
Αν μια συνάρτηση
f
είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη
της γραφικής παράστασης της
f
σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω»
από τη γραφική της παράσταση.
20.
Έστω μια συνάρτηση
f
ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και
0
x
ένα εσωτε-
ρικό σημείο του Δ. Αν η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
0
x
και
( )
0
f x 0
¢
=
, τότε
η
f
παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο
0
x
.
21.
Έστω μια συνάρτηση
f
παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση
ίσως ένα σημείο του
0
x
στο οποίο όμως η
f
είναι συνεχής.
Αν
( )
f x 0
¢
>
στο
(
)
0
α,x
και
( )
f x 0
¢
<
στο
(
)
0
x ,β
τότε το
( )
0
f x
είναι τοπικό ελάχιστο της
f.
22.
Έστω μια συνάρτηση
f
παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β) με εξαίρεση ί-
σως ένα σημείο του
0
x
. Αν η
f
είναι κυρτή στο
(
)
0
α,x
και κοίλη στο
(
)
0
x ,β
ή αντιστρόφως, τότε το σημείο
( )
(
)
0
0
Α x ,f x
είναι υποχρεωτικά σημείο κα-
μπής της γραφικής παράστασης της
f.
23.
Για κάθε
x 0
¹
ισχύει
(
)
1
ln x
x
¢ =
.
24.
Αν μια συνάρτηση
f
είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της
γραφικής παράστασης της
f
σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη
γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.
25.
Έστω η συνάρτηση
( )
f x εφx
=
. Η συνάρτηση
f
είναι παραγωγίσιμη στο
{
}
1
x / συνx 0
= -
=
και ισχύει
( )
2
1
f x
συν x
¢
= -
.