Αλγεβρα Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

99 / 146

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Β’ Γενικού Λυκείου
98
Απάντηση:
α. Αν ξαναγράψουμε τα πολυώνυμα, βλέπουμε ότι παίρνουν την μορφή:
    3 2 2 2 P x λ 2 x λ x λ 9     και         3 2 2 Q x λ 2 x λ 12 x λ 9 x       .
Είναι προφανές ότι για λ 2 δεν θα είναι 3ου βαθμού.
β. Για να είναι ίσα τα πολυώνυμα θα πρέπει να έχουν ίσους τους
συντελεστές των αντίστοιχων ομοβάθμιων μονωνύμων:
2
λ λ 12   1 και 2
λ 9 0   2 και 2
λ 9 0     3
από   2 2 2 λ 9 0 λ 9 λ 3        ή λ 3   .
από   2 2 3 λ λ 12 λ λ 12 0 λ 3          ή λ 3  ή λ 4 .
Άρα τα πολυώνυμα θα είναι ίσα μόνο για λ 3   .
Δίνεται το πολυώνυμο:   3 2
P x x αx βx 2    . Αν το   P x έχει παράγοντα το
x 1 και   P 2 18 , τότε:
α. Να αποδείξετε ότι α 1 και β 2 . (Μονάδες 10)
β. Να λύσετε την εξίσωση:   P x 0 (Μονάδες 8)
γ. Να λύσετε την ανίσωση:   P x 0  (Μονάδες 7)
Απάντηση:
α. Εφόσον το   P x έχει παράγοντα το x 1 θα ισχύει ότι:   P 1 0    1 .
      3 2
1 α 1 β 1 2 0 1 α β 2 0 α β 1                  1 .
  3 2 P 2 18 2 α 2 β 2 2 18 4α 2β 8            2 .
Έχουμε το σύστημα:
α β 1 2α 2β 2 6α 6
4α 2β 8 4α 2β 8 4α 2β 8
         
  
  
     
  
α 1 και από την  2 4 2β 8 2β 4 β 2       .
β. Έχουμε:
  3 2 P x 0 x x 2x 2 0       
      2 2 2 x x 2 x 2 0 x 2 x 1 0         
2
x 2 0  το οποίο είναι αδύνατο, ή x 1 0 x 1     
Άρα x 1 .
ΘΕΜΑ 81. 2-22681