104 / 146
103
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Β’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με εμβαδό
2
E 30cm
του οποίου η υποτείνουσα
είναι κατά 1 cm μεγαλύτερη από τη μία κάθετη πλευρά. Αν ονομάσουμε x
το
μήκος αυτής της κάθετης πλευράς και y
το μήκος της άλλης κάθετης (σε cm),
τότε:
α.
Να δείξετε ότι οι αριθμοί x και y ικανοποιούν τις σχέσεις:
60
y
x
και
2 2
2
x 1
x y
(Μονάδες 4)
β.
Να δείξετε ότι ο αριθμός x
ικανοποιεί την εξίσωση:
3
2
2x x
3600 0
(Μονάδες 4)
γ.
Αν γνωρίζετε ότι το μήκος της πλευράς x είναι αριθμός ακέραιος και
μικρότερος του 15, να βρείτε την τιμή του x καθώς και τα μήκη των
άλλων πλευρών του τριγώνου.
(Μονάδες 12)
δ.
Να εξετάσετε αν υπάρχει άλλο ορθογώνιο τρίγωνο με διαφορετικά μήκη
πλευρών από αυτά που προσδιορίσατε στο ερώτημα (γ) το οποίο
ικανοποιεί τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος. (Μονάδες 5)
Απάντηση:
α.
Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ.
Το εμβαδό του τριγώνου ισούται με
2
30cm
, άρα:
1
1
60
E β υ 30 x y
x y 60
y
2
2
x
1
.
Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε ότι:
2
2
2
2 2 2
ΒΓ
ΑΒ
ΑΓ
x 1 x y
2
.
β.
Από την σχέση
2
μέσω της
1
έχουμε:
ΘΕΜΑ 87.
4-22734