Αλγεβρα Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

107

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Β’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ

Απάντηση:

α.

Εφόσον το πολυώνυμο διαιρούμενο με το





x 1



αφήνει υπόλοιπο

 

16 P 1



έχουμε ότι:





 

P 1 16 P 1

 



Το πολυώνυμο διαιρούμενο με το





x 1



αφήνει υπόλοιπο





16 P 1

 

άρα θα ισχύει και ότι:

 





P 1 16 P 1



 

Έχουμε λοιπόν το σύστημα:

 

   

P 1

16 P 1

P 1 P 1 16

P 1 16 P

1 P 1 P 1 16

  

    







 



 







Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε ότι:





 

2P 1 32

P 1 16

    

και με αντικατάσταση στην δεύτερη προκύπτει:

 

16 P 1

P 1 0

   

β.

Έχουμε:

 

P 1 0 3 1 12 1 8 1 α 1 β 0 α β 1

    

 

      

 





 

P 1 16

3 1

12 1 8 1 α 1 β 16

   

        

α β 7

   

 

Με πρόσθεση των

 

1 & 2

κατά μέλη έχουμε:

2β 6 β 3

    

Από

 

α 3 1 α 4

   

γ.

Για

α 4



και

β 3

 

το πολυώνυμο γίνεται:

 

P x

3x 12x 8x 4x 3

    

Αν το πολυώνυμο έχει ακέραιες ρίζες, τότε αυτές θα είναι διαιρέτες του

σταθερού όρου, δηλαδή:

1, 3

 

Αυτό σημαίνει ότι οι αριθμοί 4,5,6,7 αποκλείεται να είναι ρίζες του

πολυωνύμου, κατά συνέπεια, οι τιμές

 

   

P 4 ,P 5 ,P 6 ,P 7

είναι όλες

διάφορες του μηδενός. Άρα

   

P 4 P 5 P 6 P 7 0





Έστω

 

P x

πολυώνυμο τρίτου βαθμού το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο

x 2x



και είναι τέτοιο, ώστε

 

P 1 0



και

 

P 2



α.

να αποδείξετε ότι

 

3 2

P x







. (Μονάδες 10)

β.

να λύσετε την εξίσωση

 

P x 8



(Μονάδες 6)

ΘΕΜΑ 90.

4-22764