112 / 146
111
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Β’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται το πολυώνυμο
3
2
P x
2x αx
βx 2
με
α,β
.
α.
Αν το πολυωνύμο
P x
έχει παράγοντα το
x 2
και το υπόλοιπο της
διαίρεσης του
P x
με το
x 1
είναι ίσο με
6
να βρείτε τα α και β.
(Μονάδες 7)
β.
Αν
α 5
και
β 1
να λύσετε την εξίσωση
P x 0
(Μονάδες 8)
γ.
Να λύσετε την εξίσωση
3
2
2συν ω 5ημ ω συνω 3 0
. (Μονάδες 10)
Απάντηση:
α.
Εφόσον το πολυωνύμο
P x
έχει παράγοντα το
x 2
έχουμε ότι:
3
2
P 2 0
2 2
α 2
β 2 2 0
16 4α 2β 2 0 2α β 9
1
.
Το υπόλοιπο της διαίρεσης του
P x
με το
x 1
είναι ίσο με
6
άρα:
3
2
P 1 6 2 1 α 1
β 1 2 6
2 α β 2 6 α β 6
2
.
Από την
1
μέσω της
2
έχουμε:
2 β 6 β
9
2β 12 β 9
3β 3 β 1
και από την
2
α 1 6 α
5
, άρα
3
2
P x 2x 5x x 2
.
β.
Έχουμε:
3
2
P x 0 2x
5x x 2 0
Για το πολυώνυμο έχουμε από το
α
ερώτημα ότι το
x 2
είναι μία
ρίζα του, οπότε με την βοήθεια του σχήματος Horner η εξίσωση γίνεται:
2
-5
1
2
2
4
-2
-2
2
-1
-1
0
3
2
2
2x
5x x 2 0
x 2 2x
x 1 0
και για
2
2x x 1 0
έχουμε:
x 1
ή
1
x
2
.
Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι:
1
x
2
ή
x 1
ή
x 2
.
ΘΕΜΑ 92.
4-22769