Αλγεβρα Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

98 / 146

97
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Β’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
α. Εφόσον το πολυώνυμο   P x έχει ρίζα το 1, τότε έχουμε ότι   P 1 0  1 .
Επίσης, το γεγονός ότι η διαίρεση του με το x 2 αφήνει υπόλοιπο -4
μας λέει ότι   P 2 4   2 . Άρα:
   3 2 P 1 0 1 α 1 5 1 β 0 α β 4             3
   3 2 P 2 4 2 α 2 5 2 β 4 4α β 2               4
Προκύπτει λοιπόν το σύστημα:
α β 4
4α β 2
  

   
και αφαιρώντας τις σχέσεις κατά μέλη:
3α 6 α 2     
από  3 για α 2 β 6    
β. Έχουμε:
  3 2 P x 0 x 2x 5x 6 0     
γνωρίζουμε από το   α ερώτημα ότι το 0 x 1  είναι ρίζα, άρα από το
σχήμα Horner προκύπτει:
1 -2 -5 6 1
1 -1 -6
1 -1 -6 0
συνεπώς η εξίσωση τώρα γίνεται:
   2 x 1 x x 6 0    
x 1 0  ή 2
x x 6 0   
x 1 x 2  ή x 3
Άρα οι ρίζες της εξίσωσης   P x 0 είναι x 2  ή x 1 ή x 3 .
Δίνονται τα πολυώνυμα:
      3 2 2 3
P x 2x λ x 1 λ x 1 λ 9         και
        2 3 2
Q x λ 12 x λ 2 x λ 9 x      με λ  .
α. Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι και τα δύο πολυώνυμα είναι 3ου βαθμού.
Συμφωνείτε με την άποψη αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.
(Μονάδες 13)
β. Να βρείτε την τιμή του λ, για την οποία τα πολυώνυμα   P x και   Q x
είναι ίσα. (Μονάδες 12)
ΘΕΜΑ 80. 2-22680