188 / 240
187
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται το τριώνυμο
2
f(x)
x 6x λ 3
με
λ
.
α)
Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα
Δ
του τριωνύμου.
(Μονάδες 5)
β)
Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει δύο άνισες
πραγματικές ρίζες.
(Μονάδες 7)
γ)
Αν
3 λ 12
τότε:
i)
Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες.
(Μονάδες 6)
ii)
Αν
1 2
x ,x
με
1
2
x
x
είναι οι δύο ρίζες του τριωνύμου και
κ,μ
είναι δύο
αριθμοί με
κ 0
και
1
2
x
μ x
να προσδιορίσετε το πρόσημο του
γινομένου
κ f(κ) μ f(μ)
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 7)
Απάντηση:
α)
Έχουμε
2
Δ ( 6)
4(λ 3)
36 4λ 12 48 4λ
.
β)
Το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν ισχύει
Δ 0 48 4λ 0 λ 12
γ)
i)
Aν
3 λ 12,
τότε
λ 12
. Οπότε, με βάση το ερώτημα
β)
το τριώνυμο
έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. Επίσης, από τους τύπους του Vieta
έχουμε
β
S
6 0
α
και
γ
P
λ 3 0,
α
αφού
λ 3.
Άρα, οι δυο ρίζες του τριωνύμου έχουν θετικό γινόμενο και θετικό
άθροισμα οπότε είναι και οι δυο θετικές.
ii)
Έχουμε
f(x) 0
για κάθε
1
2
x
,x x ,
(1)
και
f(x) 0
για κάθε
1 2
x
x ,x
(2)
Επίσης, ισχύει
1 2
0 x
x
.
ΘΕΜΑ 4-5884