Αλγεβρα Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

31 / 146

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Β’ Γενικού Λυκείου
30
Δίνεται το σύστημα:
2x 4y 1 λ
x 6y λ 2
   

  

, λ  .
α. Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για οποιονδήποτε πραγματικό
αριθμό λ. (Μονάδες 7)
β. Να βρείτε τα x και y συναρτήσει του λ. (Μονάδες 8)
γ. Να προσδιορίσετε την τιμή του λ, για την οποία οι ευθείες:
2x 4y 1 λ   , x 6y λ 2   και 16x 16y 19  διέρχονται από το ίδιο
σημείο. (Μονάδες 10)
Απάντηση:
α. Η ορίζουσα του συστήματος είναι:
 
2 4
D 2 6 4 1 12 4 16
1 6

        
Παρατηρούμε ότι είναι μη-μηδενική και ανεξάρτητη του λ, συνεπώς το
σύστημα θα έχει πάντα μοναδική λύση.
β. Υπολογίζουμε και τις άλλες δύο ορίζουσες:
     
x
1 λ 4
D 1 λ 6 4 λ 2 2λ 14
λ 2 6
 
          

   
y
2 1 λ
D 2 λ 2 1 λ 1 3λ 3
1 λ 2

        

Και στη συνέχεια έχουμε:
x D 2λ 14 λ 7
x
D 16 8
   
   και y D 3λ 3
y
D 16

 
γ. Για να διέρχονται και οι τρεις ευθείες από το ίδιο σημείο, αρκεί το
σημείο τομής των δύο πρώτων ευθειών, από το ερώτημα  β , να ανήκει
και στην τρίτη, δηλαδή:
λ 7 3λ 3
16 16 19
8 16
  
  
  2 λ 7 3λ 3 19 λ 17 19 λ 2          
ΘΕΜΑ 23. 4-20336