Αλγεβρα Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

37 / 146

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Β’ Γενικού Λυκείου
36
Δίνεται η συνάρτηση   2
2x
f x
x 1


, με x .
α. Να αποδείξετε ότι   f x 1 . (Μονάδες 8)
β. Είναι το 1 η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την
απάντηση σας. (Μονάδες 8)
γ. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. (Μονάδες 9)
Απάντηση:
α. Έχουμε:
   2 2 2
2
2x
f x 1 1 2x x 1 x 2x 1 0 x 1 0
x 1
            

το οποίο ισχύει.
β. Για να είναι το 1 η μέγιστη τιμή της συνάρτησης, αρκεί να δείξουμε ότι
υπάρχει κάποιο 0 x  τέτοιο ώστε  
0 f x 1  .
Παρατηρούμε ότι για 0 x 1 ισχύει:
  2
2 1
f 1 1
1 1

 

, συνεπώς     f x f 1  ,
άρα το 1 είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης.
γ. Η συνάρτηση έχει f D  συνεπώς για κάθε x  και το x   .
Επίσης:  
 
 
 
2 2
2 x 2x
f x f x
x 1
x 1
 
    
  
, άρα η f είναι περιττή.
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση f C μιας συνάρτησης f με
πεδίο ορισμού το . Να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα:
α. Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς  
1 f x ,
 2 f x ,  
3 f x (Μονάδες 10)
β. Είναι η f γνησίως μονότονη στο ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση
σας. (Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ 27. 2-17688
ΘΕΜΑ 28. 2-17698