84 / 368
83
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
A1.
Έστω μια συνάρτηση
f
παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα
( )
α,β
, με ε-
ξαίρεση ίσως ένα σημείο του
0
x
, στο οποίο όμως η
f
είναι συνεχής.
Αν
( )
f x 0
¢
>
στο
(
)
0
α,x
και
( )
f x 0
¢
<
στο
(
)
0
x ,β
, τότε να αποδείξετε
ότι το
( )
0
f x
) είναι τοπικό μέγιστο της
f.
Μονάδες 7
A2.
Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες;
Μονάδες 4
A3.
Να διατυπώσετε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού
και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά.
Μονάδες 4
A4.
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τε-
τράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη
λέξη
Σωστό
, αν η πρόταση είναι σωστή, ή
Λάθος
, αν η πρόταση είναι
λανθασμένη.
α)
Για κάθε συνεχή συνάρτηση
[ ]
f : α,β
®
, αν
G
είναι μια παρά-
γουσα της
f
στο
[ ]
α,β
, τότε το
( )
( ) ( )
β
α
f t dt G α G β
= -
ò
.
β)
Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο
0
x
και ισχύει
( ) ( )
f x g x
£
κοντά στο
0
x
, τότε
( )
( )
0
0
x x
x x
lim f x lim g x
®
®
£
.
γ)
Κάθε συνάρτηση
f
, για την οποία ισχύει
( )
f x 0
¢
=
για κάθε
(
) (
)
0
0
x α,x
x ,β
Î È
,
είναι σταθερή στο
(
) (
)
0
0
α,x
x ,β
È
).
δ)
Μια συνάρτηση
f
είναι 1–1, αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του
συνόλου τιμών της, η εξίσωση
( )
y f x
=
) έχει ακριβώς μια λύση ως
προς
x.
ε)
Αν η
f
είναι συνεχής στο
[ ]
α,β
, τότε η
f
παίρνει στο
[ ]
α,β
] μια
μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m.
Μονάδες 10
Απάντηση
ΘΕΜΑ Α
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016